数值计算中的误差总结

1. 真实误差 (True Error)

• 定义：

$$e_t = \text{真实值} - \text{近似值}$$

• 特点：有正负，能说明近似值是偏高还是偏低。

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2. 绝对误差 (Absolute Error)

• 定义：

$$e_a = | e_t | = |\text{真实值} - \text{近似值}|$$

• 特点：非负，只表示误差大小，不区分方向。

• 意义：工程中常用来限定精度，例如“误差不超过 0.1”。

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3. 相对误差 (Relative Error)

• 定义：

$$e_r = \frac{e_a}{|\text{真实值}|}$$

• 特点：无量纲，常用百分比表示。

• 意义：反映误差相对于真实值是否重要，比绝对误差更直观。

• 注意：当真实值接近 0 时，相对误差可能会变得极大甚至无意义。

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4. 三者比较

项目	真实误差 (eₜ)	绝对误差 (eₐ)	相对误差 (eᵣ)
公式	$e_t = \text{真实值} - \text{近似值}$	(e_a =	e_t
正负	可正可负	≥ 0	≥ 0
意义	误差方向（高估/低估）	误差大小	误差占真实值的比例
单位	与真实值相同	与真实值相同	无量纲（常用 %）
应用	理论分析	工程精度规定	不同数量级的比较

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5. 举例

例子 A（误差较小）

真实值 = 1000，近似值 = 1001：

• 真实误差：$e_t = 1000 - 1001 = -1$ → 偏大

• 绝对误差：$e_a = 1$
  

• 相对误差：$e_r = 1/1000 = 0.001 = 0.1\%$
  👉 差了 1 个单位，但只占 0.1%，可以认为很精确。

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例子 B（误差较大）

真实值 = 2，近似值 = 3：

• 真实误差：$e_t = 2 - 3 = -1$ → 偏大

• 绝对误差：$e_a = 1$
  

• 相对误差：$e_r = 1/2 = 0.5 = 50\%$
  👉 差了也是 1 个单位，但占比 50%，说明精度很差。

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例子 C（数值计算公式近似）

用

$$e^1 \approx 1+1+\frac{1}{2} = 2.5$$

和真实值 $e^1 = 2.71828...$比较：

• 真实误差：$e_t = 2.71828 - 2.5 = 0.21828$→ 近似值偏小

• 绝对误差：$e_a = 0.21828$
  

• 相对误差：$e_r = 0.21828/2.71828 ≈ 8.03\%$
  👉 虽然差值只有 0.218，但相对误差 8%，说明近似精度不够好。

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✅ 总结：

• 真实误差：看方向（偏大还是偏小）。

• 绝对误差：看大小。

• 相对误差：看差值是否重要（与真实值相比的比例）。